关于x的平方乘以e的-ax方的定积分解法,x属于0到正无穷

Question

关于x的平方乘以e的-ax方的定积分解法,x属于0到正无穷

Answer 1

∫x^2 e^(-ax)dx=(-1/a)∫x^2d[e^(-ax)]=(-1/a)[x^2e^(-ax)-∫e^(-ax)d(x^2)]
=(-1/a)x^2e^(-ax)+(2/a)∫xe^(-ax)dx
= (-1/a)x^2e^(-ax)+(2/a)(-1/a)∫xd[e^(-ax)]
= (-1/a)x^2e^(-ax)+(2/a)(-1/a)xe^(-ax)+(2/a)(-1/a)∫e^(-ax)dx
= (-1/a)x^2e^(-ax)+(2/a)(-1/a)xe^(-ax)+(2/a)(-1/a)(-1/a)e^(-ax)+C=J
上式x用∞代入J=C
上式x用0代入J=2/a^3+C
因此：∫（0,∞）x^2 e^(-ax)dx ＝ 2 / a^3
∫x^2 e^(-ax)dx