设B是n×n矩阵，A是n阶正定阵，证明：（1）r（BTAB）=r（B）；（2）BTAB正定的充要条件是B可逆．

Question

设B是n×n矩阵，A是n阶正定阵，证明：
（1）r（B^TAB）=r（B）；
（2）B^TAB正定的充要条件是B可逆．

Answer 1

（1）由A为正定阵知，
存在可逆阵D，使得A=D^TD．
故R（B^TAB）=R（B^TD^TDB）
=R[（DB）^T（DB）]
=R（DB）
=R（B）．
（2）由A正定知，
存在可逆阵D，使A=D^TD，
由B^TAB正定⇒B^TAB=（DB）^T（DB）正定⇒DB可逆
⇒B可逆．
由A正定，
B可逆⇒B^TAB=（DB）^T（DB），
再由DB可逆⇒B^TAB正定．
故本题得证．