如图，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、AB上两点，且BE=BF，过点B作AE的垂线交AC于点G，过点G作CF的垂线交BC于点H延长线段AE、GH交于点M．（1）求证：∠BFC=∠BEA；（2）求证：AM=BG+GM．

Question

如图，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、AB上两点，且BE=BF，过点B作AE的垂线交AC于点G，过点G作CF的垂线交BC于点H延长线段AE、GH交于点M．

（1）求证：∠BFC=∠BEA；
（2）求证：AM=BG+GM．

Answer 1

证明：（1）在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABC=90°，
在△ABE和△CBF中，

AB＝BC

∠ABC＝∠ABC

BE＝BF

，
∴△ABE≌△CBF（SAS），
∴∠BFC=∠BEA；
（2）连接DG，在△ABG和△ADG中，

AB＝AD

∠DAC＝∠BAC＝45°

AG＝AG

，
∴△ABG≌△ADG（SAS），
∴BG=DG，∠2=∠3，
∵BG⊥AE，
∴∠BAE+∠2=90°，
∵∠BAD=∠BAE+∠4=90°，
∴∠2=∠3=∠4，
∵GM⊥CF，
∴∠BCF+∠1=90°，
又∠BCF+∠BFC=90°，
∴∠1=∠BFC=∠2，
∴∠1=∠3，
在△ADG中，∠DGC=∠3+45°，
∴∠DGC也是△CGH的外角，
∴D、G、M三点共线，
∵∠3=∠4（已证），
∴AM=DM，
∵DM=DG+GM=BG+GM，
∴AM=BG+GM．