在三角形ABC中,∠ACB＝90度,角∠B＝45度,且AC=BC,AD是BC边上的中线,过C作AD的垂线交AB于点E,交AD于点F,连结DE,求证：∠ADC＝∠BDE

Question

在三角形ABC中,∠ACB＝90度,角∠B＝45度,且AC=BC,AD是BC边上的中线,
过C作AD的垂线交AB于点E,交AD于点F,连结DE,求证：∠ADC＝∠BDE

Answer 1

如图所示,设AC=2,则CD=1,AD=√5

不难得出△ACD∽△CFD

所以根据比例可得CF=2√5/5

DF=√5/5

如图填辅助线不难得出

△BGD≌△CFD

所以DG=DF=√5/5

AG=AD+DG=6√5/5

AF=AD-DF=4√5/5

AE/AB=AF/AG=2/3

所以AE/BE=AE/(AB-AE)=2/1=AC/BD

又因为在△ACE和△BDE

∠CAE=∠DBE=45

所以△ACE∽△BDE（SAS）

所以∠ACE=∠BDE

又因为△ACD∽△AFC

所以∠ADC=∠ACE=∠BDE

即∠ADC=∠BDE