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已知定义在R上的函数f(x)满足:①f(x+y)=f(x)+f(y)+1,②当x>0时,f(x)>-1;(Ⅰ)求:f(0)的值,并证明f(x)在R上是单调增函数;(Ⅱ)若f(1)=1,解关于x的不等式;f(x2+2x
题目详情
已知定义在R上的函数f(x)满足:①f(x+y)=f(x)+f(y)+1,②当x>0时,f(x)>-1;
(Ⅰ)求:f(0)的值,并证明f(x)在R上是单调增函数;
(Ⅱ)若f(1)=1,解关于x的不等式;f(x2+2x)+f(1-x)>4.
(Ⅰ)求:f(0)的值,并证明f(x)在R上是单调增函数;
(Ⅱ)若f(1)=1,解关于x的不等式;f(x2+2x)+f(1-x)>4.
▼优质解答
答案和解析
(Ⅰ)令x=y=0
∵f(x+y)=f(x)+f(y)+1,
∴f(0)=f(0)+f(0)+1
∴f(0)=-1,
在R上任取x1>x2,则x1-x2>0,
∵当x>0时,f(x)>-1,
∴f(x1-x2)>-1
则f(x1)=f[(x1-x2)+x2],
=f(x1-x2)+f(x2)+1>f(x2),
∴f(x)在R上是单调增函数.
(Ⅱ)由f(1)=1得:f(2)=3,f(3)=5,
则关于x的不等式;f(x2+2x)+f(1-x)>4可化为
关于x的不等式;f(x2+2x)+f(1-x)+1>5,
即关于x的不等式;f(x2+x+1)>f(3),
由(Ⅰ)的结论知f(x)在R上是单调增函数,
故x2+x+1>3,
解得:x<-2或x>1,
故原不等式的解集为:(-∞,-2)∪(1,+∞).
∵f(x+y)=f(x)+f(y)+1,
∴f(0)=f(0)+f(0)+1
∴f(0)=-1,
在R上任取x1>x2,则x1-x2>0,
∵当x>0时,f(x)>-1,
∴f(x1-x2)>-1
则f(x1)=f[(x1-x2)+x2],
=f(x1-x2)+f(x2)+1>f(x2),
∴f(x)在R上是单调增函数.
(Ⅱ)由f(1)=1得:f(2)=3,f(3)=5,
则关于x的不等式;f(x2+2x)+f(1-x)>4可化为
关于x的不等式;f(x2+2x)+f(1-x)+1>5,
即关于x的不等式;f(x2+x+1)>f(3),
由(Ⅰ)的结论知f(x)在R上是单调增函数,
故x2+x+1>3,
解得:x<-2或x>1,
故原不等式的解集为:(-∞,-2)∪(1,+∞).
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