如图①，AB是O的一条弦，点C是优弧AmB上一点．（1）若∠ACB=45°，点P是O上一点（不与A、B重合），则∠APB=；（2）如图②，若点P是弦AB与

Question

如图①，AB是 O的一条弦，点C是优弧

AmB

上一点．
（1）若∠ACB=45°，点P是 O上一点（不与A、B重合），则∠APB=___；
（2）如图②，若点P是弦AB与

AmB

所围成的弓形区域（不含弦AB与

AmB

）内一点．求证：∠APB>∠ACB；
（3）请在图③中直接用阴影部分表示出在弦AB与

AmB

所围成的弓形区域内满足∠ACB<∠APB<2∠ACB的点P所在的范围．

Answer 1

（1） 如右图①所示，
根据题意可分两种情况，
第一种情况，当点P在P₁时，
可知，∠AP₁B=∠ACB=45°；
第二种情况，当点P在P₂时，
∵四边形ACBP₂是圆内接四边形，
∴∠AP₂B+∠ACB=180°，
∵∠ACB=45°，
∴∠AP₂B=135°，
故答案为：45°或135°；                
（2）证明：如下图②所示，延长AP交 O于点Q，连接BQ．
则∠PQB=∠ACB，
∵∠APB为△PQB的一个外角，
∴∠APB>∠PQB，
即∠APB>∠ACB；    
（3）点P所在的范围如下图③所示，