如图所示，球形导体空腔内、外壁的半径分别为R1和R2，带有净电量+q，现在其内部距球心为r的地方放一个电量为+Q的点电荷，（1）试用高斯定理证明导体空腔内表面的感应电荷量为-Q．（2

Question

如图所示，球形导体空腔内、外壁的半径分别为R₁和R₂，带有净电量+q，现在其内部距球心为r的地方放一个电量为+Q的点电荷，

（1）试用高斯定理证明导体空腔内表面的感应电荷量为-Q．
（2）试求球心处的电势．

Answer 1

（1）证明：根据高斯定理，在任意场源所激发的电场中，对任一闭合曲面的总通量可以表示为：φ=4πk∑q_i，式中k是静电常量，为闭合曲面所围的所有电荷电量的代数和，由于处于静电平衡状态的导体内部场强处处为0，所以φ=0，则∑q_i=0，即：Q+q_内=0
所以：q_内=-Q．
证毕
（2）在球壳内的电场属于点电荷的电场，则场强：
E1=(kQ)/(r2)
在球壳的内部，由静电平衡可知，E₂=0
在球壳外取：E3=(k(Q+q))/(r2)
取无穷远处为电势的0点，则在球壳外：
U_r=

∫

∞ R2

E3dr
所以球外壳 的电势：φR2=(k(Q+q))/(R2)
由于球壳是等势体，所以球壳的内表面处：φR1=φR2=(k(Q+q))/(R2)
同理在球壳内的电势所有Q和其在内表面上产生的感应电荷的和，所以：U0内=(kQ)/(r)-(kQ)/(R1)
联立可得：U0=(kQ)/(r)-(kQ)/(R1)+(k(Q+q))/(R2)
答：（1）证明见前；
（2）球心处的电势是(kQ)/(r)-(kQ)/(R1)+(k(Q+q))/(R2)．