如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=ax2-2ax-3a与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，BO=CO．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是第一象限抛物线上的一动点，连接AP，交y轴于点D，

Question

如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=ax²-2ax-3a与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，BO=CO．

（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是第一象限抛物线上的一动点，连接AP，交y轴于点D，连接CP，设P点横坐标为t，△CDP的面积为S，求S与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，过点P作PE⊥x轴于点E，连接PB，过点A作AF⊥PB于点F，交线段PE于点G，若点H在x轴负半轴上，PH=2GE，点M（0，m）在y轴正半轴上，连接PM、PH，∠HPM=2∠BHP，PH=2PM，求m的值．

Answer 1

（1）当ax²-2ax-3a=0时，解得x=3或-1，
∴A（-1，0），B（3，0），
∴OA=1，OB=3，
∴OC=OB=3，
∴-3a=3，
∴a=-1，
∴y=-x²+2x+3．

（2）如图1中，作PE⊥x轴于E，PK⊥y轴于K．

∵点P在第一象限，横坐标为t，
∴P（t，-t²+2t+3），
∵∠PKO=∠COB=∠PEO=90°，
∴四边形KPEO是矩形，
∴PK=OE=t，PE=OK，
∴PE=-t²+2t+3，AE=t+1，
∵∠PAE=∠DAO，
∴tan∠PAE=tan∠DAO，
∴(PE)/(AE)=(DO)/(AO)，
∴(-t2+2t+3)/(t+1)=(OD)/(1)，
∴OD=3-t，
∴CD=3-OD=t，
∴S=(1)/(2)PK•CD=(1)/(2)t²．

（3）设PH交y轴于点N．

∵∠PKO=∠PKM=∠HON=90°，
∴PK∥x轴，
∴∠1=∠PHB，
∵∠MPH=2∠PHB，
∴MPH=2∠1，即∠1=∠2，
∵∠PKM=∠PKN，PK=PK，
∴△PKM≌△PKN，
∴PM=PN，MK=NK，
∵PH=2PM，
∴PN=HN，
∵∠HON=∠PKN，∠1=∠BHP，
∴△HON≌△PKN，
∴PK=HO，KN=ON，
∵AF⊥PB，
∴∠AFB=90°，
∴∠3+∠4=90°，
∵∠PEB=90°，
∴∠4+∠5=90°，
∴∠3=∠5，
∴tan∠3=tan∠5，
∴(GE)/(AE)=(BE)/(PE)，∵BE=OB-OE=3-t，
∴(GE)/(t+1)=(3-t)/(-t2+2t+3)，
∴GE=1，
∴OH=2EG=2，
∴PK=2，PE=3，
∴OK=3=OC，
∴点K与点C重合，
∴KN=(3)/(2)，
∴OM=3KN=(9)/(2)，即m=(9)/(2)