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如图,已知二次函数图象的顶点坐标为(2,0),直线y=x+1与二次函数的图象交于A,B两点,其中点A在y轴上.(1)二次函数的解析式为y=;(2)证明:点(-m,2m-1)不在(1)中所求的二
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如图,已知二次函数图象的顶点坐标为(2,0),直线y=x+1与二次函数的图象交于A,B两点,其中点A在y轴上.
(1)二次函数的解析式为y=______;
(2)证明:点(-m,2m-1)不在(1)中所求的二次函数的图象上;
(3)若C为线段AB的中点,过C点作CE⊥x轴于E点,CE与二次函数的图象交于D点.
①y轴上存在点K,使以K,A,D,C为顶点的四边形是平行四边形,则K点的坐标是______;
②二次函数的图象上是否存在点p,使得S三角形POE=2S三角形ABD?求出P点坐标;若不
存在,请说明理由.
(1)二次函数的解析式为y=______;
(2)证明:点(-m,2m-1)不在(1)中所求的二次函数的图象上;
(3)若C为线段AB的中点,过C点作CE⊥x轴于E点,CE与二次函数的图象交于D点.
①y轴上存在点K,使以K,A,D,C为顶点的四边形是平行四边形,则K点的坐标是______;
②二次函数的图象上是否存在点p,使得S三角形POE=2S三角形ABD?求出P点坐标;若不

▼优质解答
答案和解析
(1)顶点坐标为(2,0),可设解析式为:y=a(x-2)2(a≠0),
把x=0代入y=x+1得y=1,则A(0,1)
再代入y=a(x-2)2得:1=4a,则a=
.
故二次函数的解析式为:y=
(x-2)2=
x2-x+1.
(2)证明:设点(-m,2m-1)在二次函数y=
x2-x+1的图象上,
则有:2m-1=
m2+m+1,
整理得m2-4m+8=0,
∵△=(-4)2-4×8=-16<0
∴原方程无解,
∴点(-m,2m-1)不在二次函数y=
x2-x+1的图象上.
(3)①K(0,-3)或(0,5);
②二次函数的图象上存在点P,使得S△POE=2S△ABD,
如图,过点B作BF⊥x轴于F,则BF∥CE∥AO,又C为AB中点,
∴OE=EF,由于y=
x2-x+1和y=x+1可求得点B(8,9)
∴E(4,0),D(4,1),C(4,5),
∴AD∥x轴,
∴S△ABD=2S△ACD=2×
×4×4=16.
设P(x,
x2-x+1),
由题意有:S△POE=
×4(
x2-x+1)=
x2-2x+2,
∵S△POE=2S△ABD
∴
x2-2x+2=32
解得x=-6或x=10,
当x=-6时,y=
×36+6+1=16,
当x=10时,y=
×100-10+1=16,
∴存在点P(-6,16)和P(10,16),使得S△POE=2S△ABD.
把x=0代入y=x+1得y=1,则A(0,1)
再代入y=a(x-2)2得:1=4a,则a=
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故二次函数的解析式为:y=
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(2)证明:设点(-m,2m-1)在二次函数y=
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则有:2m-1=
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整理得m2-4m+8=0,
∵△=(-4)2-4×8=-16<0
∴原方程无解,
∴点(-m,2m-1)不在二次函数y=
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(3)①K(0,-3)或(0,5);
②二次函数的图象上存在点P,使得S△POE=2S△ABD,
如图,过点B作BF⊥x轴于F,则BF∥CE∥AO,又C为AB中点,
∴OE=EF,由于y=
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∴E(4,0),D(4,1),C(4,5),
∴AD∥x轴,

∴S△ABD=2S△ACD=2×
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设P(x,
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由题意有:S△POE=
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∵S△POE=2S△ABD
∴
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解得x=-6或x=10,
当x=-6时,y=
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当x=10时,y=
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∴存在点P(-6,16)和P(10,16),使得S△POE=2S△ABD.
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