如图，二次函数y=mx2+（m2-m）x-2m+1的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，顶点D的横坐标为1．（1）求二次函数的表达式及A、B的坐标；（2）若P（0，t）（t<-1）是y轴上一点，Q（-5，0），将

Question

如图，二次函数y=mx²+（m²-m）x-2m+1的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，顶点D的横坐标为1．

（1）求二次函数的表达式及A、B的坐标；
（2）若P（0，t）（t<-1）是y轴上一点，Q（-5，0），将点Q绕着点P顺时针方向旋转90°得到点E．当点E恰好在该二次函数的图象上时，求t的值；
（3）在（2）的条件下，连接AD、AE．若M是该二次函数图象上一点，且∠DAE=∠MCB，求点M的坐标．

Answer 1

（1）∵抛物线的顶点坐标的横坐标为1，
∴-(m2-m)/(2m)=1，
解得，m₁=-1，m₂=0（舍去）
∴二次函数的表达式为y=-x²+2x+3，
当y=0时，-x²+2x+3=0，
解得，x₁=-1，x₂=3，
∴A（-1，0），B（3，0），

（2）如图1，过点E作EH⊥y轴于点H，
∵∠PQO+∠OPQ=90°，∠OPQ+∠HPE=90°，
∴∠HPE=∠PQO，
由旋转知，PQ=PE，
在△EPH和△PQO中，

∠PHE=∠QOP=90°

∠HPE=∠PQO

PQ=PE

，
∴△EPH≌△PQO，
∴EH=OP=-t，HP=OQ=5
∴E（-t，5+t）
当点E恰好在该二次函数的图象上时，有5+t=-t²-2t+3
解得t₁=-2，t₂=-1（由于t<-1所以舍去），

（3）设点M（a，-a²+2a+3）
①若点M在x轴上方，
如图2，过点M作MN⊥y轴于点N，
过点D作DF⊥x轴于点F．
∵∠EAB=∠OCB=45°，∠DAE=∠MCB
∴∠MCN=∠DAF
∴△MCN∽△DAF，
∴(MN)/(DF)=(NC)/(FA)，即(a)/(4)=(a2-2a)/(2)
∴a1=(5)/(2)，a₂=0（舍去）
∴M((5)/(2)，(7)/(4))，
②若点M在x轴下方，
如图3，过点M作MN⊥y轴于点N，
过点D作DF⊥x轴于点F．
∵∠EAB=∠OCB=45°，∠DAE=∠MCB
∴∠MCN=∠ADF
∴△MCN∽△ADF
∴(MN)/(AF)=(NC)/(DF)，即(a)/(2)=(a2-2a)/(4)
∴a₁=4，a₂=0（舍去）
∴M（4，-5）
综上所述，M((5)/(2)，(7)/(4))或M（4，-5）．