已知过点A（0，1），B（4，a）且与x轴相切的圆只有一个，求a的值及所对应的圆的方程．

Question

已知过点A（0，1），B（4，a）且与x轴相切的圆只有一个，求a的值及所对应的圆的方程．

Answer 1

分两种情况考虑：
（i）设圆心坐标为（x，y），当B点为切点时，B在x轴上，所以a=0．则B（4，0），所以AB的中点坐标为（2，(1)/(2)），直线AB的斜率为(1−0)/(0−4)=-(1)/(4)，则AB中垂线的斜率为4，所以AB中垂线的方程为y-(1)/(2)=4（x-2）与x=4联立解得x=4，y=(17)/(2)，所以圆的方程为：（x-4）²+(y−(17)/(2))2=((17)/(2))2；
（ii）当a=1时，AB与x轴平行，则AB的中垂线方程为x=2，设圆心坐标为（2，y），根据勾股定理得：y²=2²+（y-1）²，解得y=(5)/(2)，所以圆的方程为：（x-2）²+(y−(5)/(2))2=((5)/(2))2．
综上：当a=0时，相对应的圆的方程为：（x-4）²+(y−(17)/(2))2=((17)/(2))2；当a=1时，相对应的圆的方程为：（x-2）²+(y−(5)/(2))2=((5)/(2))2．