如图，已知抛物线y=ax2+bx经过点A（2，0）、B（3，3），顶点为C，直线BC与y轴交于点D，点P是x轴负半轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q，（1）求抛物

Question

如图，已知抛物线y=ax²+bx经过点A（2，0）、B（3，3），顶点为C，直线BC与y轴交于点D，点P是x轴负半轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q，
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）试探究m为何值时，四边形ODPQ是平行四边形；
（3）否存在点Q，使得以P、Q、A为顶点三角形与△BOC相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵抛物线y=ax²+bx经过点A（2，0）、B（3，3），
∴

4a+2b＝0

9a+3b＝3

 解得：

a＝1

b＝−2

，
∴抛物线的解析式为：y=x²-2x；

（2）∵抛物线的解析式为：y=x²-2x；
∴y=x²-2x=（x-1）²-1，
∴顶点C（1，-1），
设直线BC为y=kx+m，
则

3k+m＝3

k+m＝−1

 解得

k＝2

m＝−3

，
∴直线BC为y=2x-3，
∵当x=0时，y=-3，
∴OD=3，
∵PQ∥OD，
∴当PQ=OD时，四边形ODPQ是平行四边形，
∴m²-2m=3，解得m=3（舍去）m=-1，
∴当m=-1时，四边形ODPQ是平行四边形．

（3）存在；
∵P（m，0），
∴Q（m，m²-2m），
∴PQ=m²-2m，PA=2-m，
∵A（2，0）、B（3，3）、C（1，-1），
∴OB=3√(2)，OC=√(2)，
∴OB²+OC²=20，
∵BC²=（3-1）²+（3+1）²=20，
∴△BOC是直角三角形，∠BOC=90°，
∵以P、Q、A为顶点三角形与△BOC相似，
∴(PQ)/(OC)=(PA)/(OB)或(PQ)/(OB)=(PA)/(OC)，
当(PQ)/(OC)=(PA)/(OB)时，则(m2−2m)/(√(2))=(2−m)/(3√(2))，
解得m=-(1)/(3)，m=2（舍去），
当(PQ)/(OB)=(PA)/(OC)时，则(m2−2m)/(3√(2))=(2−m)/(√(2))，
解得m=-3，m=2（舍去），
∴使得以P、Q、A为顶点三角形与△BOC相似的Q点的坐标Q（-(1)/(3)，(7)/(9)）或Q（-3，15）．