已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，F关于原点的对称点为P．过F作x轴的垂线交抛物线于M，N两点．有下列四个命题：①△PMN必为直角三角形；②△PMN不一定为直角三角形；③直线PM必与抛物

Question

已知抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，F关于原点的对称点为P．过F作x轴的垂线交抛物线于M，N两点．有下列四个命题：
①△PMN必为直角三角形；②△PMN不一定为直角三角形；③直线PM必与抛物线相切；④直线PM不一定与抛物线相切．
其中正确的命题是（　　）

A．①③
B．①④
C．②③
D．②④

Answer 1

抛物线方程为y²=2px（p＞0），焦点为F（(p)/(2)，0），则P点坐标为（-(p)/(2)，0），可求出点M（(p)/(2)，p），N（(p)/(2)，-p），
所以|PF|=(1)/(2)，|MN|=p，所以∠MPN=90°，所以①正确，
又直线PM方程与抛物线方程联立：

y＝x+(p)/(2)

y2＝2px

，得x²-px+(p2)/(4)=0，其判别式△=0
所以直线PM必与抛物线相切．所以③正确．
综上①③正确．
故选A．