如图，已知直线y=3x-3分别交x轴、y轴于A、B两点，抛物线y=x2+bx+c经过A、B两点，点C是抛物线与x轴的另一个交点（与A点不重合）．（1）求抛物线的解析式；（2）求△ABC的面积；（3）在

Question

如图，已知直线y=3x-3分别交x轴、y轴于A、B两点，抛物线y=x ² +bx+c经过A、B两点，点C是抛物线与x轴的另一个交点（与A点不重合）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求△ABC的面积；
（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使△ABM为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求出点M的坐标．

Answer 1

（1）∵直线y=3x-3分别交x轴、y轴于A、B两点，
∴可得A（1，0），B（0，-3），
把A、B两点的坐标分别代入y=x ² +bx+c得：

1+b+c=0

c=-3

，
解得：

b=2

c=-3

．
∴抛物线解析式为：y=x ² +2x-3．

（2）令y=0得：0=x ² +2x-3，
解得：x ₁ =1，x ₂ =-3，
则C点坐标为：（-3，0），AC=4，
故可得S _△ABC = (1)/(2) AC×OB= (1)/(2) ×4×3=6．

（3）存在，理由如下：
抛物线的对称轴为：x=-1，假设存在M（-1，m）满足题意：
讨论：
①当MA=AB时，
∵OA=1，OB=3，
∴AB=

10

，

2 2 + m 2

=

10

，
解得： m=±

6

，
∴M ₁ （-1，

6

），M ₂ （-1，-

6

）；
②当MB=BA时，

1 2 + (m+3) 2

=

10

，
解得：M ₃ =0，M ₄ =-6，
∴M ₃ （-1，0），M ₄ （-1，-6）（不合题意舍去），
③当MB=MA时，

2 2 + m 2

=

1 2 + (m+3) 2

，
解得：m=-1，
∴M ₅ （-1，-1），
答：共存在4个点M ₁ （-1，

6

），M ₂ （-1，-

6

），M ₃ （-1，0），M ₄ （-1，-1）使△ABM为等腰三角形．