已知数列{an}的前n项和Sn=n2（n∈N*）,数列{bn}为等比数列,且满足b1=a1,2b3=b4.（1）若Cn=an*bn（n∈N*）,求数列Cn的前n项和Tn

Question

已知数列{an}的前n项和Sn=n2（n∈N*）,数列{bn}为等比数列,且满足b1=a1,2b3=b4.（1）若Cn=an*bn （n∈N*）,求数列Cn的前n项和Tn

Answer 1

∵an=Sn - S(n-1)
=n²-(n-1)²
=2n-1
∴该数列是公差为2的等差数列,其中a1=1
数列{bn}为等比数列,所以：
b4/b3 = 2 = q
因此：
bn = 2^(n-1)
根据题设：
cn =an*bn
=(2n-1)·[2^(n-1)]
∴
Tn = 1·1 + 3·2 + 5·2² + 7·2³ +.+(2n-3)·[2^(n-2)]+(2n-1)·[2^(n-1)]
2Tn= 1·2 + 3·2² + 5·2³ +.+(2n-5)·[2^(n-2)]+(2n-3)·[2^(n-1)]+(2n-1)·[2^(n)]
上述两式相减：
-Tn= 1·1 + 2×(2+2²+2³+.+2^(n-1)) - (2n-1)·[2^(n)]
= 1 + 2·[2^(n)] - 4 - (2n-1)·[2^(n)]
= -(2n-3)·[2^(n)] -3
因此：
Tn = (2n-3)·[2^(n)] +3