若数列{an}中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称{an}为“等比源数列”（1）已知数列{an}中，a1=2，an+1=2an-1．①求{an}的通项公式；②试判断{an}是否为“等比源数列”，并证明你的

Question

若数列{a_n}中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称{a_n}为“等比源数列”
（1）已知数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=2a_n-1．
①求{a_n}的通项公式；
②试判断{a_n}是否为“等比源数列”，并证明你的结论．
（2）已知数列{a_n}为等差数列，且a₁≠0，a_n∈Z（n∈N^*），求证：{a_n}为“等比源数列”

Answer 1

（1）①∵a_n+1=2a_n-1，∴a_n+1-1=2（a_n-1），
∴数列{a_n-1}是等比数列，首项为1，公比为2．
∴a_n-1=2^n-1，
∴a_n=2^n-1+1．
②假设{a_n}为“等比源数列”，
则此数列中存在三项：a_kmn，k满足

a

2 m

=a_ka_n，
∴（2^m-1+1）²=（2^k-1+1）（2^n-1+1），
化为：2^2m-2+2^m=2^k+n-2+2^n-1+2^k-1，
∴2^m-k+1（2^m-2+1）=2^n-1+2^n-k+1，
可知：左边为偶数，而右边为奇数，因此不可能成立．
故{a_n}不是“等比源数列”．
（2）设等差数列{a_n}的公差为d，
则a_n=a₁+（n-1）d，a₁≠0，a_n∈Z（n∈N^*），
假设存在三项使得

a

2 n

=akam，（k<n<m）．
∴[a1+(n-1)d]2=[a₁+（k-1）d][a₁+（m-1）d]，
展开：2a₁（n-1）+（n-1）²d=a₁（k-1）+（m-1）+（k-1）（m-1）d，
当n-1既是（k-1）与m-1的等比中项，又是（k-1）与m-1的等差中项时，原命题成立．