已知{an}为等比数列，其前n项和为Sn，且Sn=2n+a，（n∈N*）．（Ⅰ）求a的值及数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若bn=（2n-1）an，求数列{bn}的前n项和Tn．

Question

已知{a_n}为等比数列，其前n项和为S_n，且S_n=2ⁿ+a，（n∈N^*）．
（Ⅰ）求a的值及数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若b_n=（2n-1）a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

（Ⅰ）由S_n=2ⁿ+a，∴a₁=S₁=2+a，
a₂=S₂-S₁=（4+a）-（2+a）=2，a₃=S₃-S₂=（8+a）-（4+a）=4．
∵{a_n}为等比数列，∴a22＝a1a3，即4=4（2+a），解得a=-1．
∴a₁=1，q=(a2)/(a1)＝2．
则an＝a1qn−1＝2n−1；
（Ⅱ）把an＝2n−1代入b_n=（2n-1）a_n，
得bn＝(2n−1)2n−1．
∴数列{b_n}的前n项和T_n=1•2⁰+3•2¹+5•2²+…+（2n-3）•2^n-2+（2n-1）•2^n-1①
2Tn＝1•21+3•22+…+(2n−3)•2n−1+(2n−1)•2n②
①-②得：−Tn＝1+2(2+22+…+2n−1)−(2n−1)•2n．
∴Tn＝(2n−3)•2n+3．