已知正项数列{an}满足a1=1，an+1=an2+2an（n∈N+），令bn=log2（an+1）．（Ⅰ）求证：数列{bn}为等比数列；（Ⅱ）记Tn为数列{1log2bn+1•log2bn+2}的前n项和，是否存在实数a，使得不等式Tn＜a-3a-1对∀n

Question

已知正项数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=a_n²+2a_n（n∈N₊），令b_n=log₂（a_n+1）．
（Ⅰ） 求证：数列{b_n}为等比数列；
（Ⅱ） 记T_n为数列{(1)/(log2bn+1•log2bn+2)}的前n项和，是否存在实数a，使得不等式T_n＜a-(3)/(a)-1对∀n∈N^*恒成立？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（I）证明：∵正项数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=a_n²+2a_n（n∈N₊），
∴an+1+1=(an+1)2，
两边取对数可得：log₂（a_n+1+1）=2log₂（a_n+1）．
∵b_n=log₂（a_n+1），
∴b_n+1=2b_n，b₁=log₂（a₁+1）=1．
∴数列{b_n}为等比数列．
（II）由（I）可得bn=2n-1．
∴(1)/(log2bn+1log2bn+2)=(1)/(n(n+1))=(1)/(n)-(1)/(n+1)．
∴数列{(1)/(log2bn+1•log2bn+2)}的前n项和T_n=(1-(1)/(2))+((1)/(2)-(1)/(3))+…+((1)/(n)-(1)/(n+1))=1-(1)/(n+1)．
∵1-(1)/(n+1)＜1，
假设存在实数a，使得不等式T_n＜a-(3)/(a)-1对∀n∈N^*恒成立，则a-(3)/(a)-1＞1，化为(a2-2a-3)/(a)＞0，∴a（a-3）（a+1）＞0，
解得-1＜a＜0或a＞3．
∴存在实数a∈（-1，0）∪（3，+∞），使得不等式T_n＜a-(3)/(a)-1对∀n∈N^*恒成立．