已知关于x的多项式被x+2除的余数为2,而被3x-2整除,求这个多项式被(3x-2)(x+2)除的余式

Question

已知关于x的多项式被x+2除的余数为2,而被3x-2整除,求这个多项式被(3x-2)(x+2)除的余式

Answer 1

设这个多项式为f(x),
再设
f(x)=(x+2)(3x-2)s(x)+r(x),其中r(x)的次数不超过二次.
（假若r(x)次数超过二次,那么将它除以(x+2)(3x-2),将余式作为新的r(x)）
于是,f(x)÷[(x+2)(3x-2)]的余式即为r(x)
因为f(x)÷(x+2)……2,
那么
[(x+2)(3x-2)s(x)+r(x)]÷(x+2)……2
也就是说,r(x)÷(x+2)……2
因为r(x)的次数不超过2次,且它÷(x+2)有余式,
那么它一定为一次.
设r(x)=p(x+2)+2
因为f(x)÷(3x-2)……0,
那么
[(x+2)(3x-2)s(x)+r(x)]÷(3x-2)……0
也就是说,r(x)÷(3x-2)……0
因而可设设r(x)=q(3x-2)
从而p(x+2)+2≡q(3x-2)（此处≡是恒等,不是同余.）
因而关于x的等式恒成立：
px+2p+2≡3qx-2q
于是p=3q
代入,
6q+2=-2q
q=-1/4
因而余式r(x)=-1/4(3x-2)=-3/4x+1/2
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