（2014•浙江）已知函数f（x）=x3+3|x-a|（a∈R）．（Ⅰ）若f（x）在[-1，1]上的最大值和最小值分别记为M（a），m（a），求M（a）-m（a）；（Ⅱ）设b∈R，若[f（x）+b]2≤4对x∈[-1，1]恒成立，求3a

Question

（2014•浙江）已知函数f（x）=x³+3|x-a|（a∈R）．
（Ⅰ）若f（x）在[-1，1]上的最大值和最小值分别记为M（a），m（a），求M（a）-m（a）；
（Ⅱ）设b∈R，若[f（x）+b]²≤4对x∈[-1，1]恒成立，求3a+b的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）∵f（x）=x³+3|x-a|=

x3+3x−3a，x≥a

x3−3x+3a，x＜a

，
∴f′（x）=

3x2+3，x≥a

3x2−3，x＜a

，
①a≤-1时，∵-1≤x≤1，∴x≥a，f（x）在（-1，1）上是增函数，
∴M（a）=f（1）=4-3a，m（a）=f（-1）=-4-3a，
∴M（a）-m（a）=8；
②-1＜a＜1时，x∈（a，1），f（x）=x³+3x-3a，在（a，1）上是增函数；x∈（-1，a），f（x）=x³-3x+3a，在（-1，a）上是减函数，
∴M（a）=max{f（1），f（-1）}，m（a）=f（a）=a³，
∵f（1）-f（-1）=-6a+2，
∴-1＜a≤(1)/(3)时，M（a）-m（a）=-a³-3a+4；
(1)/(3)＜a＜1时，M（a）-m（a）=-a³+3a+2；
③a≥1时，有x≤a，f（x）在（-1，1）上是减函数，
∴M（a）=f（-1）=2+3a，m（a）=f（1）=-2+3a，
∴M（a）-m（a）=4；
（Ⅱ）令h（x）=f（x）+b，则h（x）=

x3+3x−3a+b，x≥a

x3−3x+3a+b，x＜a

，h′（x）=

作业帮用户 2016-11-17

问题解析

（Ⅰ）利用分段函数，结合[-1，1]，分类讨论，即可求M（a）-m（a）；
（Ⅱ）令h（x）=f（x）+b，则h（x）=

x3+3x−3a+b，x≥a

x3−3x+3a+b，x＜a

，h′（x）=

3x2+3，x≥a

3x2−3，x＜a

，则[f（x）+b]²≤4对x∈[-1，1]恒成立，转化为-2≤h（x）≤2对x∈[-1，1]恒成立，分类讨论，即可求3a+b的取值范围．

名师点评

本题考点：

导数在最大值、最小值问题中的应用．

考点点评：

本题考查导数的综合运用，考查函数的最值，考查分类讨论、化归与转化的数学思想，难度大．

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