已知函数f（x）=aex-x+b，g（x）=x-ln（x+1），（a，b∈R，e为自然对数的底数），且曲线y=f（x）与y=g（x）在坐标原点处的切线相同．（1）求f（x）的最小值；（2）若x≥0时，f（x）≥kg（x）恒成

Question

已知函数f（x）=ae^x-x+b，g（x）=x-ln（x+1），（a，b∈R，e为自然对数的底数），且曲线y=f（x）与y=g（x）在坐标原点处的切线相同．
（1）求f（x）的最小值；
（2）若x≥0时，f（x）≥kg（x）恒成立，试求实数k的取值范围．

Answer 1

（1）因为f′（x）=ae^x-1，g′(x)=1-(1)/(x+1)(x>-1)，
依题意，f′（0）=g′（0），且f（0）=0，解得a=1，b=-1，
所以f′（x）=e^x-1，当x<0时，f′（x）<0；当x>0时，f′（x）>0．
故f（x）的单调递减区间为（-∞，0），单调递增区间为（0，+∞）．
∴当x=0时，f（x）取得最小值为0．
（2）由（1）知，f（x）≥0，即e^x≥x+1，从而x≥ln（x+1），即g（x）≥0．
设F（x）=f（x）-kg（x）=e^x+kln（x+1）-（k+1）x-1，
则F′(x)=ex+(k)/(x+1)-(k+1)≥x+1+(k)/(x+1)-(k+1)，
①当k=1时，因为x≥0，∴F′(x)≥x+1+(1)/(x+1)-2≥0（当且仅当x=0时等号成立）
此时F（x）在[0，+∞）上单调递增，从而F（x）≥F（0）=0，即f（x）≥kg（x）．
②当k<1时，由于g（x）≥0，所以g（x）≥kg（x），
又由（1）知，f（x）-g（x）≥0，所以f（x）≥g（x）≥kg（x），故F（x）≥0，
即f（x）≥kg（x）．（此步也可以直接证k≤1）
③当k>1时，令h(x)=ex+(k)/(x+1)-(k+1)，则h′(x)=ex-(k)/((x+1)2)，
显然h′（x）在[0，+∞）上单调递增，又h′（0）=1-k<0，h′(√(k)-1)=e√(k)-1-1>0，
所以h′（x）在(0，√(k)-1)上存在唯一零点x₀，
当x∈（0，x₀）时，h′（x）<0，∴h（x）在[0，x₀）上单调递减，
从而h（x）<h（0）=0，即F′（x）<0，所以F（x）在[0，x₀）上单调递减，
从而当x∈（0，x₀）时，F（x）<F（0）=0，即f（x）<kg（x），不合题意．
综上，实数k的取值范围为（-∞，1]．