已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且对任意的n∈N*，都有2Sn=an2+an．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若数列{bn}满足b1=1，2bn+1-bn=0（n∈N*），且cn=anbn，求数列{cn}的前n项和Tn；（3）

Question

已知各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n，且对任意的n∈N^*，都有2S_n=a_n²+a_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足b₁=1，2b_n+1-b_n=0（n∈N^*），且c_n=a_nb_n，求数列{c_n}的前n项和T_n；
（3）在（2）的条件下，是否存在整数m，使得对任意的正整数n，都有m-2＜T_n＜m+2．若存在，求出m的值；若不存在，试说明理由．

Answer 1

（1）当n=1时，2S₁=a₁²+a₁．∴a₁=1，
当n≥2时，2an＝2(Sn−Sn−1)＝(an2+an)−(an−12+an−1)，
整理，得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，
∵a_n+a_n-1＞0，∴a_n-a_n-1=1，
∴a_n=1+（n-1）×1=n．
（2）由b₁=1，(bn+1)/(bn)＝(1)/(2)，得bn＝((1)/(2))n−1，
∴cn＝n•((1)/(2))n−1，
∴T_n=1+2×(1)/(2)+…+n×((1)/(2))n−1，①
(1)/(2)Tn＝(1)/(2)+2((1)/(2))2+…+n((1)/(2))n，②
①-②，得(1)/(2)Tn＝1+(1)/(2)+2((1)/(2))2+…+((1)/(2))n−1−n((1)/(2))n＝(1−((1)/(2))n)/(1−(1)/(2))−n((1)/(2))n=2−(n+2)((1)/(2))n，
∴T_n=4-（n+2）•((1)/(2))n−1．
（3）由（2）知，对任意n∈N*，都有T_n＜4．
∵Tn+1−Tn＝(n+2)((1)/(2))n−1−(n+3)(

作业帮用户 2017-10-17

问题解析

（1）易求a₁=1，n≥2时，2an＝2(Sn−Sn−1)＝(an2+an)−(an−12+an−1)，化简可得a_n-a_n-1=1，可知{a_n}为等差数列，易求a_n；
（2）由条件可知{b_n}为等比数列，易求b_n，c_n，利用错位相减法可求得T_n；
（3）只需求得T_n的范围，由（2）知T_n＜4．由数列单调性可得T_n≥T₁=1，于是可得m；

名师点评

本题考点：

数列递推式；数列的求和．

考点点评：

该题考查等差数列、等比数列的通项公式，考查数列求和，考查学生综合运用知识分析问题解决问题的能力，错位相减法对数列求和是考查重点，要熟练掌握．

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