如图,在△ABC中,∠ACB为钝角,AB=2,BC=2,A=π6.D为AC延长线上一点,且CD=3+1.(Ⅰ)求∠BCD的大小;(Ⅱ)求BD的长及△ABC的面积.
如图,在△ABC中,∠ACB为钝角,AB=2,BC=,A=.D为AC延长线上一点,且CD=+1.
(Ⅰ)求∠BCD的大小;
(Ⅱ)求BD的长及△ABC的面积.
答案和解析

(本小题满分13分)
(Ⅰ)在△ABC中,
因为
AB=2,A=,BC=,
由正弦定理可得=,
即===2,
所以sin∠ACB=.
因为∠ACB为钝角,所以∠ACB=.
所以∠BCD=. …(6分)
(Ⅱ)在△BCD中,由余弦定理可知BD2=CB2+DC2-2CB•DC•cos∠BCD,
即BD2=()2+(+1)2−2••(+1)•cos,
整理得BD=2.
在△ABC中,由余弦定理可知BC2=AB2+AC2-2AB•AC•cosA,
即()2=22+AC2−2•2•AC•cos,
整理得AC2−2AC+2=0.解得AC=±1.
因为∠ACB为钝角,所以AC<AB=2.所以AC=−1.
所以△ABC的面积S=AC•AB•sinA=×2×(−1)×=.….(13分)
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