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如图,在△ABC中,∠ACB为钝角,AB=2,BC=2,A=π6.D为AC延长线上一点,且CD=3+1.(Ⅰ)求∠BCD的大小;(Ⅱ)求BD的长及△ABC的面积.
题目详情

2 |
π |
6 |
3 |
(Ⅰ)求∠BCD的大小;
(Ⅱ)求BD的长及△ABC的面积.
▼优质解答
答案和解析
(本小题满分13分)
(Ⅰ)在△ABC中,
因为AB=2,A=
,BC=
,
由正弦定理可得
=
,
即
=
=
=2
,
所以sin∠ACB=
.
因为∠ACB为钝角,所以∠ACB=
.
所以∠BCD=
. …(6分)
(Ⅱ)在△BCD中,由余弦定理可知BD2=CB2+DC2-2CB•DC•cos∠BCD,
即BD2=(
)2+(
+1)2−2•
•(
+1)•cos
,
整理得BD=2.
在△ABC中,由余弦定理可知BC2=AB2+AC2-2AB•AC•cosA,
即(
)2=22+AC2−2•2•AC•cos
,
整理得AC2−2
AC+2=0.解得AC=
±1.
因为∠ACB为钝角,所以AC<AB=2.所以AC=
−1.
所以△ABC的面积S=
AC•AB•sinA=
×2×(
−1)×
=
.….(13分)

(Ⅰ)在△ABC中,
因为AB=2,A=
π |
6 |
2 |
由正弦定理可得
AB |
sin∠ACB |
BC |
sinA |
即
2 |
sin∠ACB |
| ||
sin
|
| ||
|
2 |
所以sin∠ACB=
| ||
2 |
因为∠ACB为钝角,所以∠ACB=
3π |
4 |
所以∠BCD=
π |
4 |
(Ⅱ)在△BCD中,由余弦定理可知BD2=CB2+DC2-2CB•DC•cos∠BCD,
即BD2=(
2 |
3 |
2 |
3 |
π |
4 |
整理得BD=2.
在△ABC中,由余弦定理可知BC2=AB2+AC2-2AB•AC•cosA,
即(
2 |
π |
6 |
整理得AC2−2
3 |
3 |
因为∠ACB为钝角,所以AC<AB=2.所以AC=
3 |
所以△ABC的面积S=
1 |
2 |
1 |
2 |
3 |
1 |
2 |
| ||
2 |
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