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如图,在△ABC中,∠ACB为钝角,AB=2,BC=2,A=π6.D为AC延长线上一点,且CD=3+1.(Ⅰ)求∠BCD的大小;(Ⅱ)求BD的长及△ABC的面积.

题目详情
如图,在△ABC中,∠ACB为钝角,AB=2,BC=
2
,A=
π
6
.D为AC延长线上一点,且CD=
3
+1.
(Ⅰ)求∠BCD的大小;
(Ⅱ)求BD的长及△ABC的面积.
▼优质解答
答案和解析
(本小题满分13分)
(Ⅰ)在△ABC中,
因为AB=2,A=
π
6
BC=
2

由正弦定理可得
AB
sin∠ACB
BC
sinA

2
sin∠ACB
2
sin
π
6
2
1
2
=2
2

所以sin∠ACB=
2
2

因为∠ACB为钝角,所以∠ACB=
4

所以∠BCD=
π
4
.   …(6分)
(Ⅱ)在△BCD中,由余弦定理可知BD2=CB2+DC2-2CB•DC•cos∠BCD,
BD2=(
2
)2+(
3
+1)2−2•
2
•(
3
+1)•cos
π
4

整理得BD=2.
在△ABC中,由余弦定理可知BC2=AB2+AC2-2AB•AC•cosA,
(
2
)2=22+AC2−2•2•AC•cos
π
6

整理得AC2−2
3
AC+2=0.解得AC=
3
±1.
因为∠ACB为钝角,所以AC<AB=2.所以AC=
3
−1.
所以△ABC的面积S=
1
2
AC•AB•sinA=
1
2
×2×(
3
−1)×
1
2
3
−1
2
.….(13分)
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