如图所示，P、Q分别是Rt△ABC两直角边AB、AC上两点，M为斜边BC的中点，且PM⊥QM，MD⊥AB于点D，ME⊥AC于点E．求证：（1）△MPD∽△MQE；（2）AD•PD=AE•EQ：（3）PB2+QC2=PM2+QM2．

Question

如图所示，P、Q分别是Rt△ABC两直角边AB、AC上两点，M为斜边BC的中点，且PM⊥QM，MD⊥AB于点D，ME⊥AC于点E．求证：

（1）△MPD∽△MQE；
（2）AD•PD=AE•EQ：
（3）PB²+QC²=PM²+QM²．

Answer 1

证明：（1）∵MD⊥AB于点D，ME⊥AC，∠A=90°，
∴∠MDP=∠MEA=∠A=90°，
∴四边形ADME是矩形，
∴AD=EM，AE=DM，∠DME=90°，
∵PM⊥QM，
∴∠PMQ=90°，
∴∠DMP=∠EMQ，
∴△MPD∽△MQE；

（2）∵△MPD∽△MQE，
∴(PD)/(EQ)=(DM)/(EM)，
∵AD=EM，AE=DM，
∴(PD)/(EQ)=(AE)/(AD)，
∴AD•PD=AE•EQ；

（3）如图，以M点为中心，△MCQ顺时针旋转180°至△MBN，
∴△MCQ≌△MBN，
∴BN=QC，MN=MQ，∠MBN=∠C，
连接PN，PQ，
∵PM⊥QM，
∴PM垂直平分NQ，
∴PN=PQ，
∵△ABC是直角三角形，BC是斜边，
∴∠ABC+∠C=90°，
∴∠ABC+∠MBN=90°，
即△PBN是直角三角形，
根据勾股定理可得，PN²=PB²+BN²，
∴PQ²=PB²+QC²，
∵PQ²=PM²+QM²，
∴PB²+QC²=PM²+QM²．