问题提出：用n根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种不同的等腰三角形？问题探究：不妨假设能搭成m种不同的等腰三角形，为探究m与n之间的关系，我们可以从特殊入手

Question

问题提出：用n根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种不同的等腰三角形？
问题探究：不妨假设能搭成m种不同的等腰三角形，为探究m与n之间的关系，我们可以从特殊入手，通过试验、观察、类比，最后归纳、猜测得出结论．
探究一：
（1）用3根相同的木棒搭成一个三角形，能搭成多少种不同的三角形？
此时，显然能搭成一种等腰三角形．所以，当n=3时，m=1
（2）用4根相同的木棒搭成一个三角形，能搭成多少种不同的三角形？
只可分成1根木棒、1根木棒和2根木棒这一种情况，不能搭成三角形，所以，当n=4时，m=0
（3）用5根相同的木棒搭成一个三角形，能搭成多少种不同的三角形？
若分成1根木棒、1根木棒和3根木棒，则不能搭成三角形
若分为2根木棒、2根木棒和1根木棒，则能搭成一种等腰三角形，所以，当n=5时，m=1
（4）用6根相同的木棒搭成一个三角形，能搭成多少种不同的三角形？
若分成1根木棒、1根木棒和4根木棒，则不能搭成三角形
若分为2根木棒、2根木棒和2根木棒，则能搭成一种等腰三角形，所以，当n=6时，m=1
综上所述，可得表①

n	3	4	5	6
m	1	0	1	1

探究二：
（1）用7根相同的木棒搭成一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？
（仿照上述探究方法，写出解答过程，并把结果填在表②中）
（2）分别用8根、9根、10根相同的木棒搭成一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三
角形？（只需把结果填在表②中）

n	7	8	9	10
m

你不妨分别用11根、12根、13根、14根相同的木棒继续进行探究，…
解决问题：用n根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种不同的等腰三角形？
（设n分别等于4k-1、4k、4k+1、4k+2，其中k是整数，把结果填在表 ③中）

n	4k-1	4k	4k+1	4k+2
m

问题应用：用2016根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种不同的等腰三角形？（要求写出解答过程）
其中面积最大的等腰三角形每个腰用了___根木棒．（只填结果）

Answer 1

探究二：
（1）7=1+1+5（舍去）；
7=2+2+3（符合要求）；
7=3+3+1（符合要求）；
（2）8=1+1+6（舍去）；
8=2+2+4（舍去）；
8=3+3+2（符合要求）；
9=1+1+7（舍去）；
9=2+2+5（舍去）；
9=3+3+3（符合要求）；
9=4+4+1（符合要求）；
10=1+1+8（舍去）；
10=2+2+6（舍去）；
10=3+3+4（符合要求）；
10=4+4+2（符合要求）；
填表如下：

n	7	8	9	10
m	2	1	2	2

解决问题：
令n=a+a+b=2a+b，
则：b=n-2a，
根据三角形三边关系定理可知：
2a>b且b>0，
∴

2a>n-2a

n-2a>0

，
解得：(n)/(4)<a<(n)/(2)，
若n=4k-1，则k-(1)/(4)<a<2k-(1)/(2)，a的整数解有k个；
若n=4k，则k<a<2k，a的整数解有k-1个；
若n=4k+1，则k+(1)/(4)<a<2k+(1)/(2)，a的整数解有k个；
若n=4k+2，则k+(1)/(2)<a<2k+1，a的整数解有k个；
填表如下：

n	4k-1	4k	4k+1	4k+2
m	k	k-1	k	k

问题应用：
（1）∵2016=4×504，
∴k=504，
则可以搭成k-1=503个不同的等腰三角形；  
（2）当等腰三角形是等边三角形时，面积最大，
∴2016÷3=672．