定义：若三角形三个内角的度数分别是x、y和z，满足x2+y2=z2，则称这个三角形为勾股三角形．（1）根据上述定义，“直角三角形是勾股三角形”是真命题还是假命题；（2）已知一勾股三角

Question

定义：若三角形三个内角的度数分别是x、y和z，满足x²+y²=z²，则称这个三角形为勾股三角形．

（1）根据上述定义，“直角三角形是勾股三角形”是真命题还是假命题；
（2）已知一勾股三角形三个内角从小到大依次为x、y和z，且xy=2160，求x+y的值；
（3）如图，△ABC中，AB=√(6)，BC=2，AC=1+√(3)，求证：△ABC是勾股三角形．

Answer 1

（1） “直角三角形是勾股三角形”是假命题；理由如下：
∵对于任意的三角形，设其三个角的度数分别为x°、y°和z°，
若满足x²+y²=z²，则称这个三角形为勾股三角形，
∴无法得到，所有直角三角形是勾股三角形，故是假命题；
（2） 由题意可得：

x+y+z=180

xy=2160

x2+y2=z2

，
解得：x+y=102；
（3）证明：过B作BH⊥AC于H，如图所示：
设AH=x
Rt△ABH中，BH=√(6-x2)，
Rt△CBH中，（√(6-x2)）²+（1+√(3)-x）²=4，
解得：x=√(3)，
∴AH=BH=√(3)，HC=1，
∴∠A=∠ABH=45°，
∴tan∠HBC=(HC)/(BH)=(1)/(√(3))=(√(3))/(3)，
∴∠HBC=30°，
∴∠BCH=60°，∠B=75°，
∴45²+60²=75²
∴△ABC是勾股三角形．