关于勾股中的问题.我的一个同学说到在勾股中,当较大两个数相差一时,他们之和等于最小的平方.例如：（3、4、5）3^2=4+5；（5、12、13）5^2=12+13.是不是有相应的定理?注意：1.在勾股中的；2.较

Question

关于勾股中的问题.
我的一个同学说到在勾股中,当较大两个数相差一时,他们之和等于最小的平方.例如：（3、4、5）3^2=4+5；（5、12、13）5^2=12+13.
是不是有相应的定理?
注意：1.在勾股中的；
2.较大两个数相差一的.

Answer 1

定理1：
若是大于1的奇数,把它平方后拆成相邻的两个整数,那么奇数与这两个整数构成一组勾股数.
例如9是勾股数中的一个数,
那么9、40、41便是一组勾股数.
证明：设大于1的奇数为2n+1,那么把它平方后拆成相邻的两个整数为 2n^2+2n,2n^2+2n+1
因为,(2n+1)^2=(2n^2+2n)+(2n^2+2n+1)
所以,2n+1,2n^2+2n,2n^2+2n+1是一组勾股数.
定理2：若是大于2的偶数,把它除以2后再平方,然后把这个平方数分别减1,加1所得到的两个整数和这个偶数构成一组勾股数.
例如8是勾股数组中的一个数.
那么8、15,17便是一组勾股数.
证明：设大于2的偶数2n,那么把这个偶数除以2后再平方,然后把这个平方数分别减1,加1所得的两个整数为n2-1和n2+1
∵(2n)2+(n2-1)2=4n2+n4-2n2+1
=n4+2n2+1
=(n2+1)2
∴2n、n2-1、n2+1构成一组勾股数.