抛物线y=ax2+c与x轴交于A，B两点，顶点C，点P为抛物线上一点，且位于x轴下方．（1）如图1，若P（1，-3），B（4，0）．D是抛物线上一点，满足∠DPO=∠POB，且D与B分布位于直线OP的两侧，求点C

Question

抛物线y=ax²+c与x轴交于A，B两点，顶点C，点P为抛物线上一点，且位于x轴下方．
（1）如图1，若P（1，-3），B（4，0）．D是抛物线上一点，满足∠DPO=∠POB，且D与B分布位于直线OP的两侧，求点C与点D的坐标；
（2）如图2，A，B是抛物线y=ax²+c与x轴的两个交点，直线PA，PB与y轴分别交于E，F两点，当点P在x轴下方的抛物线上运动时，(OE+OF)/(OC)是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由（记OA=OB=t）

Answer 1

（1）将P（1，-3），B（4，0）代入y=ax²+c，得

16a+c=0

a+c=-3

，
解得

a=(1)/(5)

c=-(16)/(5)

，
抛物线的解析式为y=(1)/(5)x²-(16)/(5)．
∴C（0，-(16)/(5)）
如图1，
当点D在OP左侧时，
由∠DPO=∠POB，得
DP∥OB，
D与P关于y轴对称，P（1，-3），
得D（-1，-3）；

（2）点P运动时，(OE+OF)/(OC)是定值，定值为2，理由如下：
作PQ⊥AB于Q点，设P（m，am²+c），A（-t，0），B（t，0），则at²+c=0，c=-at²．
∵PQ∥OF，
∴(PQ)/(OF)=(BQ)/(BO)，
∴OF=(PQ•BO)/(BQ)=-(-(am2+c)t)/(t-m)=((am2-at2)t)/(m-t)=amt+at²．
同理OE=-amt+at²．
∴OE+OF=2at²=-2c=2OC．
∴(OE+OF)/(OC)=2．