（2013•新疆）如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线

Question

（2013•新疆）如图，已知抛物线y=ax²+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标．

Answer 1

（1）∵抛物线y=ax²+bx+3经过点A（1，0），点C（4，3），
∴

a+b+3＝0

16a+4b+3＝3

，
解得

a＝1

b＝−4

，
所以，抛物线的解析式为y=x²-4x+3；

（2）∵点A、B关于对称轴对称，
∴点D为AC与对称轴的交点时△BCD的周长最小，
设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0），
则

k+b＝0

4k+b＝3

，
解得

k＝1

b＝−1

，
所以，直线AC的解析式为y=x-1，
∵y=x²-4x+3=（x-2）²-1，
∴抛物线的对称轴为直线x=2，
当x=2时，y=2-1=1，
∴抛物线对称轴上存在点D（2，1），使△BCD的周长最小；

（3）如图，设过点E与直线AC平行线的直线为y=x+m，
联立

y＝x+m

y＝x2−4x+3

，
消掉y得，x²-5x+3-m=0，
△=（-5）²-4×1×（3-m）=0，
即m=-(13)/(4)时，点E到AC的距离最大，△ACE的面积最大，
此时x=(5)/(2)，y=(5)/(2)-(13)/(4)=-(3)/(4)，
∴点E的坐标为（(5)/(2)，-(3)/(4)），
设过点E的直线与x轴交点为F，则F（(13)/(4)，0），
∴AF=(13)/(4)-1=(9)/(4)，
∵直线AC的解析式为y=x-1，
∴∠CAB=45°，
∴点F到AC的距离为AF•sin45°=(9)/(4)×(2)/(2)=(92)/(8)，
又∵AC=

32+(4−1)2

=3

2

，
∴△ACE的最大面积=(1)/(2)×3

2

×(92)/(8)=(27)/(8)，此时E点坐标为（(5)/(2)，-(3)/(4)）．