抛物线y2=4x的焦点为F，过点（0，3）的直线与抛物线交于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点D，若|AF|+|BF|=6，则点D的横坐标为．

Question

抛物线y²=4x的焦点为F，过点（0，3）的直线与抛物线交于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点D，若|AF|+|BF|=6，则点D的横坐标为___．

Answer 1

设AB的中点为H，
抛物线y²=4x的焦点为F（1，0），准线为x=-1，
设A，B，H在准线上的射影分别为A'，B'，H'，
则|HH'|=(1)/(2)（|AA'|+|BB'|），
由抛物线的定义可得，
|AF|=|AA'|，|BF|=|BB'|，
|AF|+|BF|=6，即为|AA'|+|BB'|=6，
|HH'|=(1)/(2)×6=3，
即有H的横坐标为2，
设直线AB：y=kx+3，
代入抛物线方程，可得k²x²+（6k-4）x+9=0，
即有判别式（6k-4）²-36k²>0，解得k<(1)/(3)且k≠0，
又x₁+x₂=(4-6k)/(k2)=4，
解得k=-2或(1)/(2)（舍去），
则直线AB：y=-2x+3，
AB的中点为（2，-1），
AB的中垂线方程为y+1=(1)/(2)（x-2），
令y=0，解得x=4，
则D（4，0）．
故答案为：4．