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已知过抛物线y^2=2px(p>0)的焦点F作一条直线与抛物线交于A、B两点,以线段AB为直径的圆与直线x=-1相切,求该抛物线的方程.
题目详情
已知过抛物线y^2=2px(p>0)的焦点F作一条直线与抛物线交于A、B两点,以线段AB为直径的圆与直线x=-1相切,求该抛物线的方程.
▼优质解答
答案和解析
答:
抛物线y^2=2px
焦点F(p/2,0),准线x=-p/2<0
设圆心为C(m,n),交点A(x1,0),B(x2,0)
则2m=x1+x2,圆C的半径R=AB/2
因为:
x1-(-p/2)=AF
x2-(-p/2)=BF
所以:
AB=AF+BF=x1+x2+p
所以:AB=2m+p,R=AB/2=m+p/2
因为:圆C与直线x=-1相切
所以:R=m-(-1)=m+1
所以:R=m+p/2=m+1
所以:p/2=1
解得:p=2
所以:抛物线方程为y^2=4x
抛物线y^2=2px
焦点F(p/2,0),准线x=-p/2<0
设圆心为C(m,n),交点A(x1,0),B(x2,0)
则2m=x1+x2,圆C的半径R=AB/2
因为:
x1-(-p/2)=AF
x2-(-p/2)=BF
所以:
AB=AF+BF=x1+x2+p
所以:AB=2m+p,R=AB/2=m+p/2
因为:圆C与直线x=-1相切
所以:R=m-(-1)=m+1
所以:R=m+p/2=m+1
所以:p/2=1
解得:p=2
所以:抛物线方程为y^2=4x
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