（2014•德阳）如图，已知抛物线经过点A（-2，0）、B（4，0）、C（0，-8）．（1）求抛物线的解析式及其顶点D的坐标；（2）直线CD交x轴于点E，过抛物线上在对称轴的右边的点P，作y轴的平行

Question

（2014•德阳）如图，已知抛物线经过点A（-2，0）、B（4，0）、C（0，-8）．
（1）求抛物线的解析式及其顶点D的坐标；
（2）直线CD交x轴于点E，过抛物线上在对称轴的右边的点P，作y轴的平行线交x轴于点F，交直线CD于M，使PM=(1)/(5)EF，请求出点P的坐标；
（3）将抛物线沿对称轴平移，要使抛物线与（2）中的线段EM总有交点，那么抛物线向上最多平移多少个单位长度，向下最多平移多少个单位长度．

Answer 1

（1）根据题意可设抛物线的解析式为y=a（x+2）（x-4）．
∵点C（0，-8）在抛物线y=a（x+2）（x-4）上，
∴-8a=-8．
∴a=1．
∴y=（x+2）（x-4）
=x²-2x-8
=（x-1）²-9．
∴抛物线的解析式为y=x²-2x-8，顶点D的坐标为（1，-9）．

（2）如图，
设直线CD的解析式为y=kx+b．
∴

0+b＝−8

k+b＝−9

解得：

k＝−1

b＝−8

．
∴直线CD的解析式为y=-x-8．
当y=0时，-x-8=0，
则有x=-8．
∴点E的坐标为（-8，0）．
设点P的坐标为（m，n），
则PM=（m²-2m-8）-（-m-8）=m²-m，EF=m-（-8）=m+8．
∵PM=(1)/(5)EF，
∴m²-m=(1)/(5)（m+8）．
整理得：5m²-6m-8=0．
∴（5m+4）（m-2）=0
解得：m₁=-(4)/(5)，m₂=2．
∵点P在对称轴x=1的右边，
∴m=2．
此时，n=2²-2×2-8=-8．
∴点P的坐标为（2，-8）．

（3）当m=2时，y=-2-8=-10．
∴点M的坐标为（2，-10）．
设平移后的抛物线的解析式为y=x²-2x-8+c，
①若抛物线y=x²-2x-8+c与直线y=-x-8相切，
则方程x²-2x-8+c=-x-8即x²-x+c=0有两个相等的实数根．
∴（-1）²-4×1×c=0．
∴c=(1)/(4)．
②若抛物线y=x²-2x-8+c经过点M，
则有2²-2×2-8+c=-10．
∴c=-2．
③若抛物线y=x²-2x-8+c经过点E，
则有（-8）²-2×（-8）-8+c=0．
∴c=-72．
综上所述：要使抛物线与（2）中的线段EM总有交点，抛物线向上最多平移(1)/(4)个单位长度，向下最多平移72个单位长度．