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如图1,已知直线y=2x+2与y轴、x轴分别交于A、B两点,以B为直角顶点在第二象限作等腰Rt△ABC(1)求点C的坐标,并求出直线AC的关系式.(2)如图2,直线CB交y轴于E,在直线CB上取一点D,连接
题目详情
如图1,已知直线y=2x+2与y轴、x轴分别交于A、B两点,以B为直角顶点在第二象限作等腰Rt△ABC 
(1)求点C的坐标,并求出直线AC的关系式.
(2)如图2,直线CB交y轴于E,在直线CB上取一点D,连接AD,若AD=AC,求证:BE=DE.
(3)如图3,在(1)的条件下,直线AC交x轴于M,P(−
,k)是线段BC上一点,在线段BM上是否存在一点N,使直线PN平分△BCM的面积?若存在,请求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.

(1)求点C的坐标,并求出直线AC的关系式.
(2)如图2,直线CB交y轴于E,在直线CB上取一点D,连接AD,若AD=AC,求证:BE=DE.
(3)如图3,在(1)的条件下,直线AC交x轴于M,P(−
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▼优质解答
答案和解析
(1)如图1,作CQ⊥x轴,垂足为Q,
∵∠OBA+∠OAB=90°,∠OBA+∠QBC=90°,
∴∠OAB=∠QBC,
又∵AB=BC,∠AOB=∠Q=90°,
∴△ABO≌△BCQ,
∴BQ=AO=2,OQ=BQ+BO=3,CQ=OB=1,
∴C(-3,1),
由A(0,2),C(-3,1)可知,直线AC:y=
x+2;
(2)如图2,作CH⊥x轴于H,DF⊥x轴于F,DG⊥y轴于G,
∵AC=AD,AB⊥CB,
∴BC=BD,
∴△BCH≌△BDF,
∴BF=BH=2,
∴OF=OB=1,
∴DG=OB,
∴△BOE≌△DGE,
∴BE=DE;
(3)如图3,直线BC:y=-
x-
,P(−
,k)是线段BC上一点,
∴P(-
,
),
由y=
x+2知M(-6,0),
∴BM=5,则S△BCM=
.
假设存在点N使直线PN平分△BCM的面积,
则
BN•
=
×
,
∴BN=
,ON=
,
∵BN<BM,
∴点N在线段BM上,
∴N(-
,0).

∵∠OBA+∠OAB=90°,∠OBA+∠QBC=90°,
∴∠OAB=∠QBC,
又∵AB=BC,∠AOB=∠Q=90°,
∴△ABO≌△BCQ,
∴BQ=AO=2,OQ=BQ+BO=3,CQ=OB=1,
∴C(-3,1),
由A(0,2),C(-3,1)可知,直线AC:y=
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(2)如图2,作CH⊥x轴于H,DF⊥x轴于F,DG⊥y轴于G,
∵AC=AD,AB⊥CB,
∴BC=BD,
∴△BCH≌△BDF,
∴BF=BH=2,
∴OF=OB=1,
∴DG=OB,
∴△BOE≌△DGE,
∴BE=DE;
(3)如图3,直线BC:y=-
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∴P(-
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由y=
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∴BM=5,则S△BCM=
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假设存在点N使直线PN平分△BCM的面积,
则
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∴BN=
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∵BN<BM,
∴点N在线段BM上,
∴N(-
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