已知双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1的离心率e=2√3/3,过点A（a,0)B(0,-b)的直线到原点的距离是√3/2.,直线y=kx+m(k≠0,m≠0),与该直线交于不同的两点C,D,且C,D两点都在以A为圆心的同一圆上,求m的取值范围.改成

Question

已知双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1的离心率e=2√3/3,
过点A（a,0)B(0,-b)的直线到原点的距离是√3/2.,直线y=kx+m(k≠0,m≠0),与该直线交于不同的两点C,D,且C,D两点都在以A为圆心的同一圆上,求m的取值范围.
改成过点A(0,-b)，B（a,0)。的直线到原点的距离是√3/2.,直线y=kx+m(k≠0，m≠0),与该双曲线交于不同的两点C,且C,D两点都在以A为圆心的同一圆上，求m的取值范围。麻烦再做做!``(a>0,b>0)

Answer 1

由于离心率e=2√3/3=c/a
则：c^2=(4/3)a^2=a^2+b^2
则：b^2=(1/3)a^2 ---(1)
由于直线过点A(a,0)B(0,-b)
则直线为：y=(b/a)(x-a)
即：bx-ay-ab=0
则原点到该直线距离d=|b*0-a*0-ab|/√(b^2+a^2)=ab/√(a^2+b^2)=√3/2 ---(2)
联立(1)(2)得：a^2=3,b^2=1
则双曲线为：x^2/3-y^2=1
设C(x1,y1),D(x2,y2),P为CD中点(x0,y0)
y=kx+m与x^2/3-y^2=1联立消y得：
(1-3k^2)x^2-6kmx-(3m^2+3)=0
因为x1,x2为上式两解,则有：
1-3k^2≠0,
△=(-6km)^2-4(1-3k^2)(-3m^2-3)>0 ---(3)
且由韦达定理得：
x1+x2=6km/(1-3k^2),x1x2=(3m^2+3)/(3k^2-1)
则：
x0=(1/2)(x1+x2)=3km/(1-3k^2),
y0=(1/2)(y1+y2)=(1/2)[(kx1+m)+(kx2+m)]=m/(1-3k^2)
由题意知CD为以A(√3,0)为圆心的圆上一弦
则：CD⊥AP
则有：kCD*kAP=-1
由于：kCD=k,kAP=(y0-0)/(x0-√3)=m/(3km+3√3k^2-√3)
则有：km=√3-3km-3√3k^2
m=(√3/4)[(1-3k^2)/k] -----(4)
(3)化简得：m^2+1-3k^2>0
(4)代入(3)中得：
1-3k^2+(3/16)*(1-3k^2)^2/k^2>0
16k^2(1-3k^2)+(1-3k^2)*(3-9k^2)>0
(1-3k^2)(16k^2+3-9k^2)>0
(1-3k^2)(7k^2+3)>0
则：1-3k^2>0
k∈(-√3/3,0)U(0,√3/3)
又：m=(√3/4)*(1-3k^2)/k=(√3/4)(1/k -3k)
则m∈(-∞,0)U(0,+∞)