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已知一个圆的圆心为坐标原点,半径为2.从这个圆上任意一点P向x轴作垂线段PP′,求线段PP′中点M的轨迹.
题目详情
已知一个圆的圆心为坐标原点,半径为2.从这个圆上任意一点P向x轴作垂线段PP′,求线段PP′中点M的轨迹.
▼优质解答
答案和解析
由题意可得已知圆的方程为x2+y2=4.
设点M的坐标为(x,y),点P的坐标为(x0,y0),
∵M是线段PP′的中点,
∴由中点坐标公式得x=x0,y=
,
即x0=x,y0=2y.
∵P(x0,y0)在圆x2+y2=4上,
∴x02+y02=4 ①
将x0=x,y0=2y代入方程①得
x2+4y2=4,即
+y2=1.
∴点M的轨迹是一个椭圆.
设点M的坐标为(x,y),点P的坐标为(x0,y0),
∵M是线段PP′的中点,
∴由中点坐标公式得x=x0,y=
y0 |
2 |
即x0=x,y0=2y.
∵P(x0,y0)在圆x2+y2=4上,
∴x02+y02=4 ①
将x0=x,y0=2y代入方程①得
x2+4y2=4,即
x2 |
4 |
∴点M的轨迹是一个椭圆.
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