四边形ABCD内接于圆O,对角线AC与BD相交于P.设三角形ABP,BCP,CDP和DAP的外接圆圆心分别是O1,O2,O3,O4.求证：OP,O1O3,O2O4三直线交于一点

Question

四边形ABCD内接于圆O,对角线AC与BD相交于P.设三角形ABP,BCP,CDP和DAP的外接圆圆心分别是O1,O2,O3,O4.求证：OP,O1O3,O2O4三直线交于一点

Answer 1

连0104,0203,易知0104⊥AC,0203⊥AC 故0104∥0203,同理0102∥0304 所以01020304为平行四边形,线段0103,0204互相平分 连001,P03,D03,0304 易知0304⊥BD,001⊥AB ∠O4O3P=1/2∠DO3P=∠DCP=∠DBA 故PO3⊥AB,所以OO1∥P03,同理OO3∥P01 所以OO1PO3为平行四边形,线段0103,OP互相平分 所以OP,0103,0204三直线交于一点