如图，正方形ABCD内接于O，P为劣弧CD上一点，PA交BD于点M，PB交AC于点N，记∠PBD=θ．若MN⊥PB，则2cos2θ-tanθ的值（）A.12B.1C.22D.24

Question

如图，正方形ABCD内接于 O，P为劣弧

CD

上一点，PA交BD于点M，PB交AC于点N，记∠PBD=θ．若MN⊥PB，则2cos²θ-tanθ的值（　　）

A.

(1)/(2)

B. 1

C.

(√(2))/(2)

D.

(√(2))/(4)

Answer 1

设 O的半径为1，则BD=2．连结PD，则∠BPD=90°．
在Rt△BPD中，PB=BD•cosθ=2cosθ．
在Rt△BON中，BN=(OB)/(cosθ)=(1)/(cosθ)，
在Rt△BMN中，MN=BN•tanθ=(tanθ)/(cosθ)，
在Rt△PMN中，∵∠MPN=∠APB=∠ADB=45°，
∴PN=MN=(tanθ)/(cosθ)．
∵BN+PN=PB，
∴(1)/(cosθ)+(tanθ)/(cosθ)=2cosθ，
∴1+tanθ=2cos²θ，
∴2cos²θ-tanθ=1．
故选B．