如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为π3的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形．（1）求扇形OPQ的面积；（2）记∠COP=α，求当角α取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大

Question

如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为(π)/(3)的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形．

（1）求扇形OPQ的面积；
（2）记∠COP=α，求当角α取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积．

Answer 1

（1）扇形OPQ的面积=(1)/(2)•(π)/(3)•1•1=(π)/(6)；
（2）在RT△OBC中，OB=OC•cosα=cosα，BC=OC•sinα=sinα
在RT△OAD中，OA=(√(3))/(3)sinα，AB=OB-OA=cosα-(√(3))/(3)sinα
矩形ABCD的面积S=AB•BC=（cosα-(√(3))/(3)sinα）sinα=(√(3))/(3)sin（2α+(π)/(6)）-(√(3))/(6)
由0<α<(π)/(3)，得(π)/(6)<2α+(π)/(6)<(5π)/(6)
所以当2α+(π)/(6)=(π)/(2)即α=(π)/(6)时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为(√(3))/(6)．