求弧长r=a(1+sinx)(a>0)P.S.那个上下限根据对称性得到是什么意思?

Question

求弧长r=a(1+sinx)(a>0) P.S.那个上下限根据对称性得到是什么意思?

Answer 1

为积分方便,将弧旋转π/2,弧长不变.r=a(1+sin(π/2+x))=a(1+cosx),[0,π]与),[π,2π]上弧长相等.
r'=-asinx,
S=2[0,π]积分[根号(r^2+r'^2)]dx=2a[0,π]积分[根号(2(1+cosx))]dx=4a[0,π]积分[cos(x/2)]dx=8a.