弧长与割线长对于目前物理学的教材，好像都默认了路程与位移的模是等价无穷小量，在数学上就是一条曲线的弧长和这个弧所对应的割线的长是等价无穷小，请问这个是对任意一条曲线都

Question

弧长与割线长
对于目前物理学的教材，好像都默认了路程与位移的模是等价无穷小量，在数学上就是一条曲线的弧长和这个弧所对应的割线的长是等价无穷小，请问这个是对任意一条曲线都成立吗？如何证明？

Answer 1

先和楼主握手……我最近也注意到了这个问题，但是没有找到什么有价值的东西，好几本教材上都是一句话带过，似乎直接是默认。我的看法是这其实是一种数学抽象，也就是说，我们从感觉上来说，一条曲线的弧和弧所对应的割线在Δt→0时“越来越接近”，而此时的弧长和割线长是两个关于Δt的无穷小，将它们的这种“越来越接近”的关系在单纯的数量的方面抽象出来，就有了等价无穷小的概念。换言之，这是一个基础性的东西，是没办法证明的。当然，这应该是值得用更为详细和严格的语言来进行表达的。以上只是自己最近思考的一点结果，也不知道靠不靠谱，仅供参考，楼主有什么看法期待交流