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已知m个向量α1,α2,…αm线性相关,但其中任意m-1个都线性无关,证明:i.如果存在等式k1α1+k2α2+…+kmαm=0则这些系数k1,k2,…km或者全为零,或者全不为零;ii.如果存在两个等式k1α1+k2α

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已知m个向量α1,α2,…αm线性相关,但其中任意m-1个都线性无关,证明:
i.如果存在等式k1α1+k2α2+…+kmαm=0则这些系数k1,k2,…km或者全为零,或者全不为零;
ii.如果存在两个等式k1α1+k2α2+…+kmαm=0,l1α1+ l2α2+…+lmαm=0,其中l1≠0,则
k1
l1
k2
l2
=…=
km
lm
▼优质解答
答案和解析
证明:
(1)
假设k1α1+ k2α2+…+kmαm=0,
如果某个ki=0,
则:k1α1+…+ki-1αi-1+ki+1αi+1 …+kmαm=0,
因为任意m-1个都线性无关,
所以k1,k2,…ki-1,ki+1,…,km都等于0,
即这些系数k1,k2,…km或者全为零,或者全不为零.

(2)
因为l1≠0,
所以l1,l2,…lm全不为零,
将 α1=−
l2
l1
α2−…−
lm
l1
αm代入k1α1+k2α2+…+kmαm=0,
得:k1(−
l2
l1
α2−…−
lm
l1
αm)+k2+…+km=0,
即:(−
l2
l1
k1+k2)α2+…+(−
lm
l1
k1+km)αm=0,
所以:
l2
l1
k1+k2=0,…,
lm
l1
k1+km=0,
得:
k1
l1
k2
l2
=…=
km
lm
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