已知m个向量α1，α2，…αm线性相关，但其中任意m-1个都线性无关，证明：i．如果存在等式k1α1+k2α2+…+kmαm=0则这些系数k1，k2，…km或者全为零，或者全不为零；ii．如果存在两个等式k1α1+k2α

Question

已知m个向量α₁，α₂，…α_m线性相关，但其中任意m-1个都线性无关，证明：
i．如果存在等式k₁α₁+k₂α₂+…+k_mα_m=0则这些系数k₁，k₂，…k_m或者全为零，或者全不为零；
ii．如果存在两个等式k₁α₁+k₂α₂+…+k_mα_m=0，l₁α₁₊ l₂α₂+…+l_mα_m=0，其中l₁≠0，则(k1)/(l1)＝(k2)/(l2)＝…＝(km)/(lm)．

Answer 1

证明：
（1）
假设k₁α₁₊ k₂α₂+…+k_mα_m=0，
如果某个k_i=0，
则：k₁α₁+…+k_i-1α_i-1+k_i+1α_i+1 …+k_mα_m=0，
因为任意m-1个都线性无关，
所以k₁，k₂，…k_i-1，k_i+1，…，k_m都等于0，
即这些系数k₁，k₂，…k_m或者全为零，或者全不为零．

（2）
因为l₁≠0，
所以l₁，l₂，…l_m全不为零，
将 α1＝−(l2)/(l1)α2−…−(lm)/(l1)αm代入k₁α₁+k₂α₂+…+k_mα_m=0，
得：k1(−(l2)/(l1)α2−…−(lm)/(l1)αm)+k2α2+…+kmαm＝0，
即：(−(l2)/(l1)k1+k2)α2+…+(−(lm)/(l1)k1+km)αm＝0，
所以：−(l2)/(l1)k1+k2＝0，…，−(lm)/(l1)k1+km＝0，
得：(k1)/(l1)＝(k2)/(l2)＝…＝(km)/(lm)．