已知各项为正的数列{an}中，a1=1，a2=2，log2an+1+log2an=n（n∈N*），则a1+a2+…+a2013-21008=．

Question

已知各项为正的数列{a_n}中，a₁=1，a₂=2，log₂a_n+1+log₂a_n=n（n∈N^*），则a₁+a₂+…+a₂₀₁₃-2¹⁰⁰⁸=______．

Answer 1

∵log₂a_n+1+log₂a_n=n
∴log₂（a_n+1a_n）=n=log₂2ⁿ，可得a_n+1a_n=2ⁿ
由此可得a_n+1a_n+2=2ⁿ⁺¹，得(an+2)/(an)＝2
∴a₁、a₃、…a₂₀₁₃和a₂、a₄、…、a₂₀₁₂分别构成以2为公比的等比数列
则a₁+a₃+…+a₂₀₁₃=(1−21007)/(1−2)=2¹⁰⁰⁷-1；a₂+a₄+…+a₂₀₁₂=(2(1−21006))/(1−2)=2¹⁰⁰⁷-2
∴a₁+a₂+…+a₂₀₁₃-2¹⁰⁰⁸
=（2¹⁰⁰⁷-1）+（2¹⁰⁰⁷-2）-2¹⁰⁰⁸=2•2¹⁰⁰⁷-3-2¹⁰⁰⁸=2¹⁰⁰⁸-3-2¹⁰⁰⁸=-3
故答案为：-3