已知数列{an}满足a1=1，a2=3，若|an+1-an|=2n（n∈N*），且{a2n-1}是递增数列、{a2n}是递减数列，则limn→∞a2n-1a2n=．

Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，a₂=3，若|a_n+1-a_n|=2ⁿ（n∈N^*），且{a_2n-1}是递增数列、{a_2n}是递减数列，则

lim

n→∞

(a2n-1)/(a2n)=___．

Answer 1

∵a₁=1，a₂=3，|a_n+1-a_n|=2ⁿ（n∈N^*），
∴a₃-a₂=±2²，
又{a_2n-1}是递增数列、{a_2n}是递减数列，
∴a₃-a₂=4=2²；
同理可得，a₄-a₃=-2³，
a₅-a₄=2⁴，
a₆-a₅=-2⁵，
…，
a_2n-1-a_2n-2=2^2n-2，
a_2n-a_2n-1=-2^2n-1，
∴a_2n=（a_2n-a_2n-1）+（a_2n-1-a_2n-2）+…+（a₃-a₂）+（a₂-a₁）+a₁=1+2+（2²-2³+2⁴-…+2^2n-2-2^2n-1）=3+(4[1-(-2)2n-2])/(1-(-2))=(13)/(3)-(4)/(3)•2^2n-2=(13)/(3)-(1)/(3)•2²ⁿ；
∴a_2n-1=a_2n+2^2n-1=(13)/(3)+(1)/(6)•2²ⁿ；
∴则

lim

n→∞

(a2n-1)/(a2n)=

lim

n→∞

((13)/(3)+(1)/(6)•22n)/((13)/(3)-(1)/(3)•22n)=((1)/(6))/(-(1)/(3))=-(1)/(2)．
故答案为：-(1)/(2)．