已知函数f（x）=x-alnx，（a∈R）．（1）讨论函数f（x）在定义域内的极值点的个数；（2）设g（x）=-a+1x，若不等式f（x）>g（x）对任意x∈[1，e]恒成立，求a的取值范围．

Question

已知函数f（x）=x-alnx，（a∈R）．
（1）讨论函数f（x）在定义域内的极值点的个数；
（2）设g（x）=-(a+1)/(x)，若不等式f（x）>g（x）对任意x∈[1，e]恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

（1）f（x）=x-alnx，（x>0），
f′（x）=1-(a)/(x)=(x-a)/(x)，
①a≤0时，f′（x）>0，f（x）递增，f（x）无极值；
②a>0时，令f′（x）>0，解得：x>a，令f′（x）<0，解得：0<x<a，
∴f（x）在（0，a）递减，在（a，+∞）递增，
f（x）有1个极小值点；
（2）若不等式f（x）>g（x）对任意x∈[1，e]恒成立，
令h（x）=f（x）-g（x），即h（x）_最小值>0在[1，e]恒成立，
则h（x）=x-alnx+(a+1)/(x)（a∈R），
∴h′（x）=1-(a)/(x)-(a+1)/(x2)=((x+1)[x-(a+1)])/(x2)，
①当1+a≤0，即a≤-1时，在[1，e]上为增函数，f（x）_min=f（1）=1+1+a>0，
解得：a>-2，即-2<a≤-1，
当a>-1时
①当1+a≥e时，即a≥e-1时，f（x）在[1，e]上单调递减，
∴f（x）_min=f（e）=e+(a+1)/(e)-a>0，解得a<(e2+1)/(e-1)，
∵(e2+1)/(e-1)>e-1，
∴e-1≤a<(e2+1)/(e-1)；
②当0<1+a≤1，即-1<a≤0，f（x）在[1，e]上单调递增，
∴f（x）_min=f（1）=1+1+a>0，
解得a>-2，故-2<a<-1；
③当1<1+a<e，即0<a<e-1时，f（x）_min=f（1+a），
∵0<ln（1+a）<1，
∴0<aln（1+a）<a，
∴f（1+a）=a+2-aln（1+a）>2，此时f（1+a）>0成立，
综上，-2<a<(e2+1)/(e-1)时，不等式f（x）>g（x）对任意x∈[1，e]恒成立．