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在整数集Z中,被4除所得余数为k的所有整数组成一个“类”,记为[k]={4n+k|n∈Z},k=0,1,2,3,则下列结论正确的为①2014∈[2];②-1∈[3];③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3];④命题“整数a,b满足a∈[
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在整数集Z中,被4除所得余数为k的所有整数组成一个“类”,记为[k]={4n+k|n∈Z},k=0,1,2,3,则下列结论正确的为______
①2014∈[2];
②-1∈[3];
③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3];
④命题“整数a,b满足a∈[1],b∈[2],则a+b∈[3]”的原命题与逆命题都正确;
⑤“整数a,b属于同一类”的充要条件是“a-b∈[0]”
①2014∈[2];
②-1∈[3];
③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3];
④命题“整数a,b满足a∈[1],b∈[2],则a+b∈[3]”的原命题与逆命题都正确;
⑤“整数a,b属于同一类”的充要条件是“a-b∈[0]”
▼优质解答
答案和解析
由类的定义[k]={4n+k|n∈Z},k=0,1,2,3,可知,只要整数m=4n+k,n∈Z,k=0,1,2,3,则m∈[k].
对于①2014=4×503+2,∴2014∈[2],故①符合题意;
对于②-1=4×(-1)+3,∴-1∈[3],故②符合题意;
对于③所有的整数按被4除所得的余数分成四类,即余数分别是0,1,2,3的整数,即四“类”[0],[1],[2],[3],所以Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3],故③符合题意;
对于④原命题成立,但逆命题不成立,∵若a+b∈[3],不妨取a=0,b=3,则此时a∉[1]且b∉[1],∴逆命题不成立,∴④不符合题意;
对于⑤∵“整数a,b属于同一类”不妨令a=4m+k,b=4n+k,m,n∈Z,且k=0,1,2,3,则a-b=4(m-n)+0,∴a-b∈[0];
反之,不妨令a=4m+k1,b=4n+k2,则a-b=4(m-n)+(k1-k2),若a-b∈[0],则k1-k2=0,即k1=k2,所以整数a,b属于同一类.故整数a,b属于同一类”的充要条件是“a-b∈[0].故⑤符合题意.
故答案为①②③⑤
对于①2014=4×503+2,∴2014∈[2],故①符合题意;
对于②-1=4×(-1)+3,∴-1∈[3],故②符合题意;
对于③所有的整数按被4除所得的余数分成四类,即余数分别是0,1,2,3的整数,即四“类”[0],[1],[2],[3],所以Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3],故③符合题意;
对于④原命题成立,但逆命题不成立,∵若a+b∈[3],不妨取a=0,b=3,则此时a∉[1]且b∉[1],∴逆命题不成立,∴④不符合题意;
对于⑤∵“整数a,b属于同一类”不妨令a=4m+k,b=4n+k,m,n∈Z,且k=0,1,2,3,则a-b=4(m-n)+0,∴a-b∈[0];
反之,不妨令a=4m+k1,b=4n+k2,则a-b=4(m-n)+(k1-k2),若a-b∈[0],则k1-k2=0,即k1=k2,所以整数a,b属于同一类.故整数a,b属于同一类”的充要条件是“a-b∈[0].故⑤符合题意.
故答案为①②③⑤
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