高中三角函数sin2θ-(2√2+√2a)sin(θ+π/4)-2√2/cos(θ-π/4)＞-3-2a对一切θ∈[0,π/2]恒成立,求a取值范围.

Question

高中三角函数
sin2θ-(2√2+√2a)sin(θ+π/4)-2√2/cos(θ-π/4)＞-3-2a对一切θ∈[0,π/2]恒成立,求a取值范围.

Answer 1

本题用正常思维难解,考虑换元.
令sinθ+cosθ=x,x∈[1,√2]
则(√2/2)sinθ+(√2/2)cosθ=(√2/2)x,即有cosθcosπ/4+sinθsinπ/4=cos(θ-π/4)=(√2/2)x
而sin (θ+π/4)=cos[π/2-(θ+π/4)]=cos(π/4-θ)=cos(θ-π/4)=(√2/2)x
另有(sinθ+cosθ)^2=x^2,即有2sinθcosθ=sin2θ=x^2-1
由此原不等式化为(x^2-1)-(2√2+√2a)[√2/2)x]-2√2/[(√2/2)x]＞-3-2a
整理得x^2-(2+a)x-4/x+2+2a>0,x∈[1,√2]
因式分解后有x^2-(2+a)x-4/x+2+2a=(x-2)(x+2/x-a)>0（可用待定系数法确定）
显然x-2