DefinethedistancebetweentwononemptysubsetsAandBofR^nbydist(A,B):=inf{||x-y||:x∈Aandy∈B}.ProvethatifAandBarecompactsetswhichsatisfyA∩B=∅,thendist(A,B)>0.

Question

Define the distance between two nonempty subsets A and B of R^n by
dist(A,B):=inf{||x-y||:x∈A and y∈B}.Prove that if A and B are compact sets which satisfy A∩B=∅,then dist(A,B)>0.

Answer 1

这个可以用反证法,抱歉你自己翻译成英文吧,最好能加点分.
在度量空间中,紧集是有界闭集.
下面用反证法证明,假设存在两个紧集A,B,A∩B=∅；dist(A,B)=0
那么存在数列{xn},对任意整数n,xn属于A；使得lim（n趋于无穷）inf{||xn-y|}=0;
由于A是有界闭集,那么{xn}有界,那么必然有收敛子列{zk}
由于A是闭集,那么z=lim（k趋于无穷）zk是A中的聚点,那么必然z属于A；
设|zn-yn|=inf{|zn-y|}；yn属于B
那么对任意e>0,存在N1,对任意n>N1,有|zn-yn|N2,有|zn-z|