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(2014•湖北模拟)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的两个焦点为F1,F2,其中一条渐近线方程为y=b2x(b∈N*),P为双曲线上一点,且满足|OP|<5(其中O为坐标原点),若|PF1|、|F1F2|、|PF2|成
题目详情
(2014•湖北模拟)已知双曲线
-
=1(a>0,b>0)的两个焦点为F1,F2,其中一条渐近线方程为y=
x(b∈N*),P为双曲线上一点,且满足|OP|<5(其中O为坐标原点),若|PF1|、|F1F2|、|PF2|成等比数列,则双曲线C的方程为( )
A.
-y2=1
B.x2-y2=1
C.
-
=1
D.
-
=1
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
b |
2 |
A.
x2 |
4 |
B.x2-y2=1
C.
x2 |
4 |
y2 |
9 |
D.
x2 |
4 |
y2 |
16 |
▼优质解答
答案和解析
∵|F1F2|2=|PF1|•|PF2|,
∴4c2=|PF1|•|PF2|,
∵|PF1|-|PF2|=4,
∴|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|•|PF2|=16,
即:|PF1|2+|PF2|2-8c2=16,①
设:∠POF1=θ,则:∠POF2=π-θ,
由余弦定理得:|PF2|2=c2+|OP|2-2|OF2|•|OP|•cos(π-θ),
|PF1|2=c2+|OP|2-2|OF1||OP|•cosθ
整理得:|PF2|2+|PF1|2=2c2+2|OP|2②
由①②化简得:|OP|2=8+3c2=20+3b2
∵OP<5,∴20+3b2<25,∵b∈N,∴b2=1.
∵一条渐近线方程为y=
x(b∈N*),
∴
=
,∴a=2,
∴
−y2=1.
故选:A.
∴4c2=|PF1|•|PF2|,
∵|PF1|-|PF2|=4,
∴|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|•|PF2|=16,
即:|PF1|2+|PF2|2-8c2=16,①
设:∠POF1=θ,则:∠POF2=π-θ,
由余弦定理得:|PF2|2=c2+|OP|2-2|OF2|•|OP|•cos(π-θ),
|PF1|2=c2+|OP|2-2|OF1||OP|•cosθ
整理得:|PF2|2+|PF1|2=2c2+2|OP|2②
由①②化简得:|OP|2=8+3c2=20+3b2
∵OP<5,∴20+3b2<25,∵b∈N,∴b2=1.
∵一条渐近线方程为y=
b |
2 |
∴
b |
a |
1 |
2 |
∴
x2 |
4 |
故选:A.
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