不等式2x2-axy+y2≤0对于任意x∈[1，2]及y∈[1，3]恒成立，则实数a的取值范围是（）A．a≤22B．a≥22C．a≥113D．a≥92

Question

不等式2x²-axy+y²≤0对于任意x∈[1，2]及y∈[1，3]恒成立，则实数a的取值范围是（　　）

A．a≤2√(2)
B．a≥2√(2)
C．a≥(11)/(3)
D．a≥(9)/(2)

Answer 1

不等式2x²-axy+y²≤0等价为a≥(2x2+y2)/(xy)＝(2x)/(y)+(y)/(x)，设t=(y)/(x)，
∵x∈[1，2]及y∈[1，3]，
∴(1)/(2)≤(1)/(x)≤1，即(1)/(2)≤(y)/(x)≤3，
∴(1)/(2)≤t≤3，
则(2x)/(y)+(y)/(x)＝t+(2)/(t)，
∵t+(2)/(t)≥2√(t•(2)/(t))＝2√(2)，
当且仅当t=(2)/(t)，即t=√(2)时取等号．但此时基本不等式不成立．
又y=t+(2)/(t)在[(1)/(2)，√(2)]上单调递减，在[√(2)，3]上单调递增，
∵当t=(1)/(2)时，t+(2)/(t)＝(1)/(2)+4＝(9)/(2)，
当t=3时，t+(2)/(t)＝3+(2)/(3)＝(11)/(3)＜(9)/(2)．
∴(2x)/(y)+(y)/(x)的最大值为(9)/(2)．
∴a≥(9)/(2)．
故选：D．