设函数f（x）=|cosx|+|sinx|，下列四个结论正确的是（）①f（x）是奇函数；②f（x）关于直线x=3π4对称；③当x∈[0，2π]时，f（x）∈[1，2]；④当x∈[0，π2]时，f（x

Question

设函数f（x）=|cosx|+|sinx|，下列四个结论正确的是（　　）
①f（x）是奇函数；                        
②f（x）关于直线x=(3π)/(4)对称；
③当x∈[0，2π]时，f（x）∈[1，√(2)]；         
④当x∈[0，(π)/(2)]时，f（x）单调递增．

A．①③
B．②④
C．③④
D．②③

Answer 1

①f（-x）=|cos（-x）|+|sin（-x）|=|cosx|+|sinx|=f（x），
∴f（x）是偶函数；∴①错误．
②∵f（x+(3π)/(4)）=|sin（x+(3π)/(4)）|+|cos（x+(3π)/(4)）|=|(√(2))/(2)（cosx-sinx）|+|(√(2))/(2)（cosx+sinx）|，
f（(3π)/(4)-x）=|sin（(3π)/(4)-x）|+|cos（(3π)/(4)-x）|=|(√(2))/(2)（cosx-sinx）|+|(√(2))/(2)（cosx+sinx）|，
∴f（x+(3π)/(4)）=f（(3π)/(4)-x），∴函数f（x）关于直线x=(3π)/(4)对称；∴②正确．
③f（x）=

sin⁡x+cos⁡x，0≤x≤(π)/(2)

sin⁡x−cos⁡x，(π)/(2)＜x≤π

−sin⁡x−cos⁡x，π＜x≤(3π)/(2)

cos⁡x−sin⁡x，(3π)/(2)＜x≤2π

，
作出函数f（x）的图象可知：当x∈[0，2π]时，f（x）∈[1，√(2)]； 
∴③正确．
④当x∈[0，(π)/(2)]时，由图象可知f（x）不单调．
∴④错误．
故选：D．